摘要：函数f被称为保持有限、非空、有向或任意上确界，如果它分别保持所有有限、非空、有向或任意集合的上确界。非空有限上确界的保持还可以定义自恒等式f(x∨y) = f(x)∨f(y)，对于所有元素x和y成立，这里假定∨是在两个次序上的全函数。 对偶的，可定义下确界保持的性质。。...函数f被称为保持有限、非空、有向或任意上确界，如果它分别保持所有有限、非空、有向或任意集合的上确界。非空有限上确界的保持还可以定义自恒等式f(x∨y) = f(x)∨f(y)，对于所有元素x和y成立，这里假定∨是在两个次序上的全函数。 对偶的，可定义下确界保持的性质。。
的一个子集，要求对给定的 X {\displaystyle X} 上定义的实值函数 f {\displaystyle f} 在这个子集上恰好非0。最常见的情形是， X {\displaystyle X} 是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数 f {\displaystyle f} 在此拓扑下连续。此时， f。
de yi ge zi ji ， yao qiu dui gei ding de X { \ d i s p l a y s t y l e X } shang ding yi de shi zhi han shu f { \ d i s p l a y s t y l e f } zai zhe ge zi ji shang qia hao fei 0 。 zui chang jian de qing xing shi ， X { \ d i s p l a y s t y l e X } shi yi ge tuo pu kong jian ， bi ru shi shu zhou deng deng ， er han shu f { \ d i s p l a y s t y l e f } zai ci tuo pu xia lian xu 。 ci shi ， f 。
在数学里，任何向量空间V都有其对应的对偶向量空间（或简称为对偶空间），由V的线性泛函组成。此对偶空间俱有一般向量空间的结构，像是向量加法及纯量乘法。由此定义的对偶空间也可称之为代数对偶空间。在拓扑向量空间的情况下，由连续的线性泛函组成的对偶空间则称之为连续对偶空间。 对偶空间是 row vector （。
{\displaystyle p} 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间） 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。。
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在数学中，特别是泛函分析中，如果一个在巴拿赫空间中取值的函数与其所在空间的对偶空间中的任意元素的复合是一般（强）意义下的可测函数，则该函数是弱可测函数。 对于可分空间，弱可测性和强可测性的概念是一致的。 (X,Σ)是一个可测空间，并且B是域K（通常是实数空间R或复数空间C）上的巴拿赫空间，如果函数f:X→B满足如下条件，对于任意连续线性泛函g:B→K，函数。
theorem）。拉格朗日对偶问题是指在最小化问题上加上拉格朗日乘数，也就是在目標函数上加上对应限制条件的非负拉格朗日乘数，再求解可將原目標函数最小的原始变数值。此解会得到以拉格朗日乘数的函数表示的原始变数，称为是「对偶变数」（dual variables），因此，新的问题就是要衍生对偶。
{S}}} 的对偶空间中的元素，也就是缓增广义函数，来定义其傅里叶变换。速降函数空间的别称“施瓦茨空间”得名于法国数学家洛朗·施瓦茨，速降函数空间里的函数也被称为施瓦茨函数。 欧几里得空间Rn 上的速降函数空间 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 是满足以下条件的函数的集合：。
这些集合可用于定义平面对偶结构。 互换“点”和“线”的角色 C = (P, L, I) 获得对偶结构 C∗ = (L, P, I∗) 其中I∗是I的逆关系。C∗也是一个射影平面，称为C的对偶平面（dual plane）。 在函数方法中，相关几何图形之间存在一个映射，称为对偶性。 这样的映射可以通过多种方式构建。。
布尔域 布尔函数 布尔逻辑 蕴涵项 布尔素理想定理 布尔值函数 布尔值模型 布尔可满足性问题 布尔三段论 规范形式 (布尔代数) 特征函数 紧致性定理 完全布尔代数 德·摩根 德·摩根定律 对偶性 (序理论) 实体图 存在图 一阶逻辑 形式系统 自由布尔代数 Heyting代数 指示函数 内部代数 威廉姆·斯坦利·杰文斯。
对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。 给定一个系数域为 F {\displaystyle \mathbb {F} } 赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）E（其中 F {\displaystyle \mathbb。
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在概率论中，任何随机变量的特征函数（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中 X {\displaystyle X} 是任何具有该分布的随机变量： φ X ( t ) = E ( e i t X ) {\displaystyle \varphi。
operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。 霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对应下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是。
泛函（functional）指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的「函数」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数。
一个线性规划问题（“原问题”）的对偶线性规划问题（“对偶问题”）是另一个线性规划问题，由原问题以一定方式派生而来： 原问题中的每个变量都变为对偶问题中的一个限制条件； 原问题中的每个限制条件都变为对偶问题中的一个变量； 原问题若是求目标函数的最大值，则对偶问题是求最小值，反之亦然。 对于以下形式的两个线性规划问题：。
}({\mathbb {R} }^{n})} 。在适当拓扑结构中，它的对偶空间是分布空间（见分布理论）。 根据唯一性定理，虽然隆起函数都是光滑的，但除非它们在D上取值一致为0，否之它们都不是解析函数。隆起函数经常被用作柔化函数，光滑隔断函数（smooth cutoff function），以及用于1的分割（英语：partition。
V} 的对偶空间（或称为 V {\displaystyle V} 的代数对偶空间，以和连续对偶空间区分）。 若V是一拓扑向量空间，所有连续线性泛函的集称为连续对偶，有时也简称为对偶空间。若 V {\displaystyle V} 是巴拿赫空间，其对偶空间也是。为了把普通的对偶空间与连续对偶。
对偶的所有概念统一起来的普适定义。 在两类对象之间的对偶很多都和配对（pairing），也就是把一类对象和另一类对象映射到某一族标量上的双线性函数相对应。例如，线性代数的对偶对应着把线性空间中的向量对双线性映射到标量上，广义函数及其相关的试验函数也对应着一个配对且在该配对中可用试验函数来对广义函数。
对偶定理解释了傅立叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果，如： 实数线上够「好」的复数值周期函数能表成傅立叶级数，反之也能从傅立叶级数推出原函数。 实数线上够「好」的复数值函数有傅立叶变换；一如周期函数，在此也能从其傅立叶变换反推出原函数。 有限阿贝尔群上的复数值函数。
，严格关系在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。 单调（monotone）函数也叫做isotone或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone或序反转。因此，反单调函数f满足性质 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 蕴涵 f ( x ) ≥ f。
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朗日乘子的一项，这一项与拉格朗日乘子不完全一样。 从另一个角度看，无约束目标函数是带约束问题的拉格朗日对偶再加上一个额外的惩罚项（或者称为“增广量”）。 这种方法曾被人们称为乘子法。在20世纪70到80年代曾被作为惩罚函数法的替代方法被大量研究过。这类方法首次由Magnus。
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